A:まず、レモンバーベナの葉先が茶色くなってきているのは、葉まで十分な水分が届いていないためです。

今の時期は気温的には問題ないですし、置いておられる場所もそれほど問題は無いと思います。原因を突き止めれば解決すると思います。

考えられる原因としては、

1.仰るように水やりが足りない場合
数日間の間、日に２度ほど鉢からたっぷり水が流れ落ちるぐらいやってみてください。

2.エアコンの風
エアコンの風が長時間直接当たると葉先が傷むことがあります。置き場所のチェックを。

3.根のトラブル
あまり考えにくいですが（地植えならあります）、根切り虫などに食害されている場合。また、水のやり過ぎ（これは無いと思いますが）

4.一時的な水切れ
茶色くなったところは、剪定しておきましょう。その上で、今後どうなるかをみてはいかがでしょうか。

他の対策としてはもう少し涼しくなるまでやや日陰の場所に置いておく、全体の1/3ほど剪定してみる

などが考えられます。

ちなみに植え付け時と比べて成長のほうはどうでしょうか。成長もしているのならそれほど心配は無いと思います。回復することを願っております。