A:お問い合わせありがとうございました。写真も拝見いたしました。

ミントの大きい枝は、春から夏に伸びた枝です。この枝と葉は今後枯れていきます（もし残っても、来年この枝からはあまり良い葉が出にくいです）。
そして、今株元から伸び始めている小さな葉で冬を越して、これらの葉が春から伸びます。

ですので、大きい枝は放っておいても構いませんが、地面に近いところから剪定しても構いません。
冬越しの態勢は整っていますので、しっかり外で寒さに当ててみてください。

下記のような感じです。

どうぞよろしくお願いいたします。
ありがとうございました。